Equação da Transferência Radiativa

• A ETR é a equação fundamental para o estudo da propagação da radiação.
• Em uma região do espaço:
  • A Radiação que sai
  • menos a Radiação que entra
  • é o saldo de radiação
• Este Saldo é dado pela soma de todos os processos radiativos:
  • absorção
  • emissão
  • remoção por espalhamento
  • adição por espalhamento (de outroas fontes)

Lei de Beer

• Vamos começar por algo simples: \(T = e^{-\tau}\), a Lei de Beer.
• Considere um feixe de radiância espectral \(L_\lambda\)
  • Orientado na direção \(\Omega = (\theta, \phi)\).
  • lembre-se: W/m²/sr/\(\mu\)m.
• Esse feixe atravessa uma região do espaço:
  • Uma região infinitesimal de largura \(ds\) na posição \(s\) (vamos considerar área constante).
  • Este volume contém gotículas/partículas (espalhamento), e moléculas (absorpção).
  • O feixe então sofre absorção e espalhamento - aqui estamos considerando apenas os aspéctos de atenuação.

Lei de Beer

Lei de Beer - coeficientes

• O coeficiente linear de atenuação resume todos os processos físicos de atenuaçào.
• Pode-se dividir em duas partes: absorção e espalhamento:

\[ \beta_\lambda(s) = \beta_{a\lambda} + \beta_{e\lambda}, \]

• \(\beta_{a\lambda}\) é o coef. de atenuação devido à absorção.

• \(\beta_{e\lambda}\) é o coef. de atenuação devido ao espalhamento.

• Tambem pode ser escrito como:

\[ \beta_\lambda(s) = k_\lambda(s)\rho(s) = \sigma_\lambda(s) N(s),\]

• \(k_\lambda(s)\) (m²/kg) é o coef. mássico de atenuação, \(rho\) é a densidade (kg/m³).
• \(\sigma_\lambda(s)\) (m²) é a seção de choque, e \(N\) é a densidade de partículas (#/m³).

Lei de Beer - Integral

• A equação diferencial da conservação da energia pode ser integrada (equação diferencial linear de primeira ordem).

\[ dL_\lambda(\Omega,s) = -L_\lambda(\Omega,s)\beta_\lambda(s)ds \rightarrow \frac{dL_\lambda(\Omega,s)}{L_\lambda(\Omega,s)} = -\beta_\lambda(s)ds,\] \[ \int_{L(s_1)}^{L(s_2)}\frac{dL_\lambda(\Omega,s)}{L_\lambda(\Omega,s)} = -\int_{s_1}^{s_2}\beta_\lambda(s)ds,\] \[ \ln L_\lambda(\Omega,s_2) - \ln L_\lambda(\Omega,s_1) = -\int_{s_1}^{s_2}\beta_\lambda(s)ds,\] \[ \ln\left(\frac{L_\lambda(\Omega,s_2)}{L_\lambda(\Omega,s_1)}\right) = -\int_{s_1}^{s_2}\beta_\lambda(s)ds \rightarrow L_\lambda(\Omega,s_2) = L_\lambda(\Omega,s_1) e^{-\int_{s_1}^{s_2}\beta_\lambda(s)ds}.\]

Definindo \(\tau = \int_{s_1}^{s_2}\beta_\lambda(s)ds\), temos a Lei de Beer: \(L=L_0e^{-\tau}\).

• NOTE: Como ela \(\tau\) é uma integral, ela é aditiva: se você junta duas porções com espessura óptica \(\tau_1\) e \(\tau_2\), a resultante será: \(\tau=\tau_1+\tau_2\).

Exercício:

• 6.1 Um sinalizador emite um feixe direto de radiação monocromática (\(\lambda=0,55\mu\)m) de potência 1000W/m² a ser recebido por um alvo postado a uma distância arbitrária de um caminho óptico cujo coeficiente linear de atenuação é \(\beta\)/m. Um sensor postado a 50m do sinalizador mede a irradiância de 82,1W/m². Sabendo que esse sensor não mede irradiâncias inferiores a 0,1W/m², determine a distância máxima na qual pode ser colocado o sensor para que ele detecte a presença do sinalizador.