Integral da Equação da Transferência Radiativa

\[\frac{1}{\beta}\frac{dL}{ds}=-L+(1-\omega_0)B+\omega_0 J,\] lembrando que \(\beta=\beta_{abs}+\beta_{esp}\), \(\omega_0=\beta_{esp}/\beta\), \(B\) é função de Plank e \(J\) é função fonte de espalhamento.

• É uma equação de primeira ordem. Tem solução geral.

• Muitos livros fazem a seguinte transformação: \[ \beta ds = d\tau \quad\rightarrow\quad \frac{1}{\beta}\frac{dL}{ds} = \frac{dL}{d\tau},\] onde \(\tau=0\) é em \(s=0\). Isso permite uma integral formal: \[ \frac{dL}{d\tau}=F(\tau) \quad\rightarrow\quad L(\tau)=L(\tau_0)e^{\int_{\tau_0}^{\tau}F(\tau')d\tau'},\] onde toda a complexidade está escondida na relação implicita entre \(\tau\) e \(z\).

• Faremos aqui de forma mais explicita.

Integral da ETR Térmica

• Por simplicidade faremos apenas a parte Térmica, sem espalhamento (\(\omega_0=0\)).
  • Depois basta trocar \(B\) por \((1-\omega_0)B+\omega_0 J\) e refazer as integrais.
  • Vamos usar a aproximação plano-paralela. \[\frac{1}{\beta}\frac{dL}{ds} = -L+B.\]
• Na relação entre \(s\) e \(z\) teremos duas situações (aqui \(\cos\zeta=1\)):
  • para cima (ascendente): \(z=s\).
  • para baixo (descendente): \(z=z_{max}-s\).
• Usando a regra da cadeia: \[\frac{dL}{ds} = \frac{dL}{dz}\frac{dz}{ds},\] e \(dz/ds=+1\) se for acendente ou \(-1\) se for descendente. Logo: \[\frac{1}{\beta}\frac{dL}{dz} = \mp L + \pm B.\]

Integral da ETR Térmica - Ascendente

• Integral geral de \(L'+\beta L = \beta B\) usa o fator integrante: \[u(z) = \exp{\left(\int^z\beta(z')dz'\right)}.\]
  • Note: Não importa o limite inferior, ele acaba sendo cancelado depois. Basta uma anti-derivada.
  • Note 2: \(du/dz = \beta u\).
• Multiplicando \(u\) em ambos os lados, temos: \[uL' + \beta u L = \beta u B \quad\rightarrow\quad \frac{d(uL)}{dz} = \beta u B.\]
• Fazendo a integral ascendente (de \(z_0\) a \(z\)), e colocando \(u(z)\) explicitamente na direita:

\[\int d(uL) = \int_{z_0}^{z} \beta(z') u(z') B(z') dz' = \int_{z_0}^{z} \beta(z')B(z')e^{\int^{z'}\beta(z'')dz''}dz',\]

Integral da ETR Térmica - Ascendente

• O lado esquerdo é o próprio \(uL\) nos limites: \[\int d(uL) = u(z)L(z) - u(z_0)L(z_0) = \int_{z_0}^{z} \beta(z')B(z')e^{\int^{z'}\beta(z'')dz''}dz'.\]

• Passando para o lado direito \(u_0L_0\) e dividindo tudo por \(u(z)\): \[L(z) = \frac{u(z_0)}{u(z)}L(z_0) + \frac{1}{u(z)}\int_{z_0}^{z} \beta(z')B(z')e^{\int^{z'}\beta(z'')dz''}dz'.\]

• Note: \[\frac{u(z_0)}{u(z)}=\frac{e^{\int^{z_0}\beta dz'}}{e^{\int^z\beta dz'}}= e^{\int^{z_0}\beta dz'}e^{-\int^z\beta dz'}=e^{-\int_{z_0}^z\beta dz'}. \]

• Que é o termo de atenuaão da lei de Beer. (Por isso o limite inferior não importava!)

Integral da ETR Térmica - Ascendente

• Assim temos: \[L(z) = L(z_0)e^{-\int_{z_0}^z\beta dz'} + e^{-\int^z\beta dz''}\int_{z_0}^{z} \beta(z')B(z')e^{\int^{z'}\beta(z'')dz''}dz'.\]

• Colocando a exponencial de fora para dentro da integral, temos:

\[L(z) = \underbrace{L(z_0)}_{\parbox{1.5cm}{{\footnotesize\raggedright Emissão da superfície}}}\underbrace{e^{-\int_{z_0}^z\beta dz'}}_{\parbox{2cm}{{\footnotesize\raggedright Atenuação atmosférica Lei de Beer}}} + \int_{z_0}^{z} \underbrace{\beta(z')B(z')}_{\parbox{2cm}{{\footnotesize\raggedright Emissão na altitude } z'}}\underbrace{e^{-\int_{z'}^z\beta(z'')dz''}}_{\parbox{2cm}{{\footnotesize\raggedright Atenuação de $z'$ até $z$}}}dz'.\]

Integral da ETR Térmica - Ascendente

• Simplificação: quand \(\beta\) e \(B\) são constantes (dentro de um laboratório, por exemplo), e que \(z_0=0\):

\[L(z) = L(z_0)e^{-\int_{z_0}^z\beta dz'} + \int_{z_0}^{z} \beta(z')B(z')e^{-\int_{z'}^z\beta(z'')dz''} dz'= \] \[L(z) = L_0e^{-\beta z} + \beta B(T) \int_{0}^{z} e^{-\beta (z-z')} dz'. \]

• Trocando \(x=z-z' \rightarrow dx=-dz'\), e os limites \(z'=0\rightarrow x=z,\quad z'=z\rightarrow x=0\) temos: \[\int_{z}^{0} e^{-\beta x} (-dx) = \frac{1}{\beta} e^{-\beta x}|_{z}^{0} = \frac{1}{\beta}(1-e^{-\beta z}).\]

Assim: \[L(z) = L_0e^{-\beta z} + \beta B(T) \frac{1}{\beta}(1-e^{-\beta z}) = \] \[L(z) = L_0e^{-\beta z} + B(T) (1-e^{-\beta z}). \]

Integral da ETR Térmica - Ascendente

• Para outro ângulo zenital \(\zeta\) basta trocar:

\[ ds=dz \rightarrow ds=\frac{dz}{\cos\zeta}=\sec\zeta dz, \] usando a secante nas expressões, ou seja:

\[L(z) = L(z_0)e^{-\int_{z_0}^z\beta \sec\zeta dz'} + \int_{z_0}^{z} \beta(z')B(z')e^{-\int_{z'}^z\beta(z'')\sec\zeta dz''}\sec\zeta dz.\]

• Para o caso particular de \(\beta\) e \(B\) constantes, temos:

\[L(z) = L_0e^{-\beta\sec\zeta z} + B(T)(1-e^{-\beta\sec\zeta z}).\]

• Lembre que em geral \(\beta\) e \(T\) dependem de \(z\).