Integral da ETR - Exemplo

A Integral da ETR apenas com termos térmicos fica na forma:

\[L(z) = L(z_0)e^{-\int_{z_0}^z\beta \sec\zeta dz'} + \int_{z_0}^{z} \beta(z')B(z')e^{-\int_{z'}^z\beta(z'')\sec\zeta dz''}\sec\zeta dz.\]

1. Janela.

• Imagine uma janela atmosferica atmosférica (região do espéctro que a radiação eletromagnética atravessa a atmosfera sem alteração), na posição \(\lambda_0\).
• Considere a temperatura da superfície como sendo \(T_s=300K\).
• Assumindo que esta janela seja ideal (\(\beta=0\)), calcule a radiância sobe verticalmente (\(\zeta=0\)) e sai da atmosfera, chegando a um observador em órbita.

Integral da ETR - Exemplo

\[L(z) = L(z_0)e^{-\int_{z_0}^z\beta \sec\zeta dz'} + \int_{z_0}^{z} \beta(z')B(z')e^{-\int_{z'}^z\beta(z'')\sec\zeta dz''}\sec\zeta dz.\]

2. Perfil de temperatura.

• Imagine que agora existe um gás que é capaz de emitir/absorver nesse mesmo comprimento de onda, que contamina a atmosfera mas apenas em uma certa camada.
• Considere que este gás forma uma camada de espessura \(h\), ou seja \(h=z_2-z_1\), onde \(z_1\) é a base e \(z_2\) é o topo da camada de gás. Vamos considerar que \(z_1=10km\) e \(z_2=11km\).
• Utilizando um perfil de temperatura padrão, estime a temperatura da camada de gás \(T_g\).

Integral da ETR - Exemplo

3. Efeito da Camada

\[L(z) = L(z_0)e^{-\int_{z_0}^z\beta \sec\zeta dz'} + \int_{z_0}^{z} \beta(z')B(z')e^{-\int_{z'}^z\beta(z'')\sec\zeta dz''}\sec\zeta dz.\]

• Existe uma região espectral na atmosfera cujo gás Metano (CH4) é quase que o único gás presente na faixa centrada em 1305µm com largura de aproximadamente 5µm.
• Nesta faixa, o coeficiente de absorção \(\beta\) pode ser considerado como 0,1/km.
• Para um angulo de visada vertical \(\zeta=0\), calcule:
  • A componente de absorção (lei de beer).
  • A componente de emissão (reemissão).
  • O valor total da radiância.
• Repita o cálculo para um ângulo azimutal \(\zeta\) de 45 graus e 90 graus.

Integral da ETR - Exemplo - Temperatura de Brilho

• Uma grandeza muito útil é a Temperatura de Brilho (Brightness Temperature):
• Se \(R_\lambda = B(T,\lambda)\) é a função de Plank, e \(R\) é a radiância emitida no comprimento de onda \(\lambda\) para uma certa temperatura \(T\), podemos inverter a relação:
  • \(T_{b\lambda} = B^{-1}(R_\lambda,\lambda)\), onde \(T_{b\lambda}\) é a temperatura associada à radiância \(R_\lambda\), e \(B^{-1}\) é o inverso da função de Plank. Veja este pedaço de programa Matlab/Octave:

Integral da ETR - Exemplo - Temperatura de Brilho (matlab)

  % Inputs:
  %    fr - vector of wavenumber (cm-1)
  %    rad - vector of radiances (mW/m2 per cm-1 per strad)
  %    bt  - vector of brightness temperature (Kelvin)

  fr = COLOQUE AQUI O VALOR DE fr (em cm¯¹)

  % Se voce for calcular RAD, defina BT: %%%%%%%%%%%%%5
  bt = COLOQUE AQUI O VALOR DA TEMPERATURA (rm K) 
  % Se voce for calcular BT, defina RAD: %%%%%%%%%%%%%5
  rad = COLOQUE AQUI O VALOR DE rad (em mW/m²/cm¯¹/sr)

  % Constants; values from NIST (CODATA98)
  c = 2.99792458e+08;  % speed of light      299 792 458 m s-1
  h = 6.62606876e-34;  % Planck constant     6.626 068 76 x 10-34 J s
  k = 1.3806503e-23;   % Boltzmann constant  1.380 6503 x 10-23 J K-1

  % Compute radiation constants c1 and c2
  c1 = 2*h*c*c * 1e+11;  % Changed 1e+8 to 1e+11 to convert Watts to milliWatts
  c2 = (h*c/k) * 100;

  % return bt = c2 * fr / log(1 + c1 * fr^3 / rad)

  % Se for calcular BT: %%%%%%%%%%%%%%
  bt = c2 * fr ./ log(1 + c1 * (fr.^3) ./ rad);
  % Se for calcular RAD: %%%%%%%%%%%%%%
  rad  = c1 * fr.^3 ./ (exp((c2 * fr) ./ bt) - 1);

Integral da ETR - Exemplo - Temperatura de Brilho (Python)

  # Inputs:
  #    fr - vector of wavenumber (cm-1)
  #    rad - vector of radiances (mW/m2 per cm-1 per strad)
  #    bt  - vector of brightness temperature (Kelvin)

  import math

  fr = COLOQUE AQUI O VALOR DE fr (em cm¯¹)

  # Se voce for calcular RAD, defina BT: %%%%%%%%%%%%%5
  bt = COLOQUE AQUI O VALOR DA TEMPERATURA (rm K) 
  # Se voce for calcular BT, defina RAD: %%%%%%%%%%%%%5
  rad = COLOQUE AQUI O VALOR DE rad (em mW/m²/cm¯¹/sr)

  # Constants; values from NIST (CODATA98)
  c = 2.99792458e+08;  # speed of light      299 792 458 m s-1
  h = 6.62606876e-34;  # Planck constant     6.626 068 76 x 10-34 J s
  k = 1.3806503e-23;   # Boltzmann constant  1.380 6503 x 10-23 J K-1

  # Compute radiation constants c1 and c2
  c1 = 2*h*c*c * 1e+11;  # Changed 1e+8 to 1e+11 to convert Watts to milliWatts
  c2 = (h*c/k) * 100;

  # return bt = c2 * fr / log(1 + c1 * fr^3 / rad)

  # Se for calcular BT: %%%%%%%%%%%%%%
  bt = c2 * fr ./ math.log(1 + c1 * (fr^3) ./ rad);
  # Se for calcular RAD: %%%%%%%%%%%%%%
  rad  = c1 * fr^3 / (math.exp((c2 * fr) / bt) - 1);

• Voce pode ir no site https://www.programiz.com/python-programming/online-compiler/ para testar o programa acima.

Integral da ETR - Exemplo - Temperatura de Brilho

\[L(z) = L(z_0)e^{-\int_{z_0}^z\beta \sec\zeta dz'} + \int_{z_0}^{z} \beta(z')B(z')e^{-\int_{z'}^z\beta(z'')\sec\zeta dz''}\sec\zeta dz.\]

• Considere radiação de número de onda \(k=1000/c\)m.
  • Calcule o comprimento de onda \(\lambda\) (lembre-se \(\lambda = 10000/k\) em µm).
• Considere três casos com emissão de 0.5, 1 e 2 W/m²/sr/cm:
  • Calcule o T associado a cada caso.
• No problema do Metano, assuma que a Temperatura de Brilho (Brightness temperature) da radiância que chega no observador no espaço seja de 240K. Estime \(\beta\) para o ângulo azimutal \(\zeta=0\).