Radiação na Atmosfera

Radiação Eletromagnética

Campos e propagação

Radiação Eletromagnética

Espectro Eletromagnético

Radiação Eletromagnética

Quanta de Luz - Na virada do Século XIX para XX:

\[ E = \frac{hc}{\lambda} = h \nu,\] onde \(h=6,626\times 10^{-34}\)Js, \(\lambda\) é o comprimento de onda (m), \(\nu\) é a frequência (Hz), e \(c\) é a velocidade da luz \(c=299,8\) mil km/s = \(2,998x10^8\)m/s (decorar: 300 mil kilômetros por segundo!).

Radiação Eletromagnética

Divisão do Espéctro:

Ângulo Sólido

O que é

* Unidade: steroradiano (sr).

Ângulo Sólido

Coordenadas esféricas

Ângulo Sólido

No caso de Latitude e Longitude:

Fluxo, Intensidade, Irradiância e Radiância

Fluxo

Intensidade Radiante

Fluxo, Intensidade, Irradiância e Radiância

Irradiância

Fluxo, Intensidade, Irradiância e Radiância

Radiância

Fluxo, Intensidade, Irradiância e Radiância

Fluxo, Intensidade, Irradiância e Radiância

Radiância - Irradiância

Para a esfera total: \[ E = \int_S L \cos{\theta} d\Omega = \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2\pi} L \cos{\theta} \sin{\theta}d\theta d\phi.\]

Número de Onda

Onda Senoidal

Ex. Uma onda de comprimento de onda \(\lambda=1mm\) qual é o seu número de onda? $ 1) Quantas ondas cabem em 1cm? Resp = 10. 2) Então o Número de onda é \(k=10\mathrm{cm}^{-1}\).

Exercícios:

  1. Calcule a frequencia de oscilação de:
  2. Mostrar que o ângulo sólido de uma esfera é \(4\pi\).

  3. Calcule o ângulo sólido de um retângulo de 1°x1° (lat/lon) na linha do equador.

  4. A irradiância solar tem um valor de \(1,3\)kW/m\({}^2\). Calcule quanta energia pode ser captada por um painel solar de \(2\mathrm{m}^2\) durante o período de uma hora ao meio dia, assumindo uma eficiência de 30%.

  5. Provar que, se a radiação for isotrópica, ou seja, a radiância é a mesma em todas as direções (constante igual a \(L\)), a irradiância total incidente em um hemisfério é igual a \(\pi L\).

  6. Calcule o Número de onda de uma onda com \(\lambda=10\mu\)m, \(1\mu\)m e 100nm. Em unidades de 1/cm.

Densidade Espectral

\[ L(\lambda) = L_\lambda = \frac{\Delta L}{\Delta \lambda}=\frac{dL}{d\lambda}, \]

Densidade Espectral

Denside com \(\nu\) e k

Espalhamento, Absorção e Transmissão

Espalhamento, Absorção e Transmissão

Espalhamento, Absorção e Transmissão

Espalhamento, Absorção e Transmissão

\[ E_{tot} = \rho E_{tot} + \tau E_{tot} + \alpha E_{tot},\] ou \[ \rho + \tau + \alpha = 1. \]

Reflectância - Areia (curtas: \(\lambda<4\mu m\))

Reflectância - Folha sadia (curtas: \(\lambda<4\mu m\))

Transmitância - Atmosfera (curta)

Transmitância - Atmosfera (curta e longa)

Exercícios

  1. Uma folha sadia tem sua reflectância definida como nos slides acima. Calculo o NDVI de uma folha sadia: \[ \mathrm{NDVI} = \frac{|R_{\mathrm{IR}}-R_{\mathrm{RED}}|}{|R_{\mathrm{IR}}+R_{\mathrm{RED}}|}, \] onde RED tem \(\lambda = 700nm\) e IR tem \(\lambda = 1.0 \mu m\).

  2. Imagine que voce tem observações de uma cena onde a luz é separada em cores do espectro. Usando o quadro de reflectância da areia e gelo, como voce poderia distinguir entre os dois? Ou seja, que comparação de cores (e IR) voce poderia usar para disinguir entre eles?

Radiação de Corpo Negro

Corpo Negro - Lei de Kirchhoff

Lei de Kirchoff

Lei de Kirchoff

Lei de Planck

\[ B(\nu,T) = \frac{2h\nu^3}{c^2\left[\exp{\left(h\nu/kT\right)}-1\right]}, \]

em [W/m²/sr/Hz].

Lei de Planck

Lei de Planck - Wein e Stefan-Boltzmann

Exercícios

  1. Obter a expressão da radiância espectral de um corpo negro em função do númedo de onda.

  2. Calcular o comprimento de onda de máxima emissão para um ser humano, T=37C, e para o Sol, T=5500C. Em qual banda do espectro encontram-se esses máximos de emissão?

  3. Derivar a lei de Wein.

  4. Derivar o valor de K na segunda lei de Wein.

Exercícios

Radiação na Atmosfera

O Sol - Características

O Sol - Geometria

O Sol - Geometria

O Sol - Radiação

O Sol - Manchas solares (histórico)

O Sol - Irradiância

O Sol - Radiação

O Sol - Radiação

O Sol - Radiação

O Sol - Radiação

O Sol - Radiação

Resolução dos exercícios - 1

Resolução dos exercícios - 1

Resolução dos exercícios - 1

Resolução dos exercícios - 2

Resolução dos exercícios - 3

Resolução dos exercícios - 3

Resolução dos exercícios - Jupiter

Tamanho Aparente do Sol no Céu.

Tamanho Aparente do Sol no Céu.

Sistemas de Coordenadas

Sistema Geográfico

Sistema Equatorial Horário

Sistema Equatorial Horário

Sistema Horizontal Local

Sistema Horizontal Local

Radiação na Atmosfera

Radiação de Ondas Curtas

Lei de Beer

Exercício 4.1

Um balão meteorológico está localizado a 8km de altitude, onde a profundidade óptica relativa ao topo da atmosfera vale 0,03. Um sensor nesse balão mede a radiância monocromática de comprimento de onda \(\lambda\), perpendicular ao sensor, de \(2,0\mathrm{W/m^2/sr/\mu m}\). Na superfície, um fotômetro acaba de medir a profundidade óptica total da atmosfera (para o mesmo comprimento de onda) com valor 0,19. Determinar a radiância espectral: 1. Indicente no topo da atmosfera. 2. Na superfície.

Exercício 4.2

A radiância espectral de \(875\mathrm{W/m^2/sr/\mu m}\) foi medida com um fotômetro solar no instante em que a elevação do Sol era de 35°. A radiância incidente no topo no mesmo comprimento de onda era igual a \(2000\mathrm{W/m^2/sr/\mu m}\). Com base nisso, determinar a profuncidade óptica da atmosfera no instante da medição.

Radiação de Ondas Longas

Radiação Total e filtros

Radiação Total e aplicações

5. Absorção e Espalhamento

Absorção e Espalhamento

Perfil de Temperatura:

Perfil de Temperatura:

Constituentes Atmosféricos

Constituentes Atmosféricos - Gases

Constituentes Atmosféricos - Aerosóis

Leiam o Livro!

5.2. Espectro de Absorção e Emissão Atômico

Interação da Radiação Eletromagnética com Cargas elétricas

Interação da Radiação Eletromagnética com Cargas elétricas

Absorção e Emissão de Radiação Eletromagnética

Emissão Eletrônica

Emissão Eletrônica

Emissão Eletrônica

Linhas Espectrais do H - Série de Balmer

Linhas Espectrais: Emissão e Absorção

Emissão por Rotação/Vibração

Forma das moléculas:

Espectro Vibracional/Rotacional

Espectro Vibracional/Rotacional

Espectro Vibracional/Rotacional

Alargamento das Linhas Espectrais

Alargamento das Linhas Espectrais

Alargamento das Linhas Espectrais

Alargamento das Linhas Espectrais - Bandas

Coeficiente de massa e Profundidade Óptica de absorção

Coeficiente de Absorção

Seção de Choque e Coeficiente de Atenuação linear

Profundidade Óptica, Coeficiente de Atenuação e Seção de Choque

Exercício

Espalhamento

Padrão de Espalhamento

Padrão de Espalhamento - Exemplo

Espalhamento Rayleigh

Espalhamento Mie

Índide de Refração

Índide de Refração

Índice de Refração

Índice de Refração

Índice de Refração (explicação)

Índice de Refração (explicação)

Índide de Refração e Absorção

Índide de Refração e Absorção (cont)

Núvens

Núvens - Profundidade Óptica (Visível)

Núvens - Profundidade Óptica (Visível)

Núvens - Profundidade Óptica (IV)

Exercício 5.6

Considere uma núvem de \(h=1\)km de espessura, com profundidade óptica igual à 1 \(\tau=1\). Assumindo que ela contenha 1000 gotas por unidade de volume (digamos \(m^3\)), estime:

  1. O tamanho efetivo de cada gotícula (\(r_{eff}\)).
  2. Se o caminho óptico fosse aumentade do 10%, de quantos % variaria a transmitância?

Note que, \(\tau\) (profundidade óptica) é dada, para núvens, por: \[\tau=\frac{3}{2\rho}\frac{LWP}{r_{eff}} = 1\].

O LWP é dado por: \[LWP = \int_0^{1km} w dz,\] e \[w=\frac{4\pi}{3}\rho\int_0^{\infty}r'^3 N(r')dr'\].

Vamos então começar por \(w\).

Delta de Dirac

Delta de Dirac

N e W

Assim: \[ N(r) = 1000 \delta(r-r_0),\] onde \(r_0\) é o valor do raio das gotículas.

Agora podemos calcular \(w\):

\[ w=\frac{4\pi}{3}\rho\int_0^{\infty} r^3N(r)dr = \] \[ w=\frac{4\pi}{3}\rho\int_0^{\infty} r^3 1000 \delta(r-r_0)dr = \]

Finalmente: \[ w=\frac{4\pi}{3}\rho r_0^3 1000.\]

LWP e reff.

Para calcular LWP, fazemos a integral na vertical. Aqui \(w\) não varia com a altitude (isso poderia ser o case se \(N\) dependensse de \(z\)).

\[LWP = \int_0^{h} w dz = \frac{4\pi}{3}\rho r_0^3 1000 h.\]

O Raio efetivo é dado pela fórluma:

\[r_{eff} = \frac{\int r^3 N dr}{\int r^2 N dr} = \] \[ \frac{\int r^3 1000\delta(r-r_0)dr}{\int r^2 1000\delta(r-r_0)dr} = \] \[ \frac{1000 r_0^3}{1000 r_0^2} = r_0.\]

Logo \(r_{eff}=r_0\).

LWP, \(\tau\) e \(r_0\)

A profundidade óptica \(\tau\) é dada por:

\[\tau = \frac{3}{2\rho}\frac{LWP}{r_{eff}} = \] \[\tau = \frac{3}{2\rho}\frac{\frac{4\pi}{3}\rho r_0^3 1000 h}{r_0} = \] \[\tau = 2\pi r_0^2 1000 h.\]

Finalmente, o raio efetivo é dado por:

\[r_{0} = \sqrt(\tau/(2\pi 1000 h)) = 0.0004m = 0.4mm.\]

Mudança no Caminho óptico:

Se aumentarmos em 10% o caminho óptico - o percurso da luz - Quanto muda a transmitância? Lembre que \(T=e^{-\tau}\). Expresse em porcentagem.

Assim:

\[ T=e^{-\tau} = e^{-\tau_0*1.1}.\]

Mudança percentual

\[ \Delta \% = \frac{T-T_0}{T_0} = \frac{T}{T_0}-1. \]

\[ \Delta \% = \frac{e^{-1.1\tau_0}}{e^{-\tau_0}} -1 = e^{-1.1\tau_0+\tau_0} -1= \] \[ \Delta \% = e^{-0.1\tau_0} -1 = e^{-0.1} -1= 0.905-1 = -0.095 = -9.5\%.\]

Problema 5.4

\[ (n-1) = cN\],

onde \(c\) é uma constante a determinar, e \(N\) é o número de moléculas por volume.

Na superfície, \(n=1,000292\).

Se em \(z=0\), \(N_0=25.5\times 10^{18}\), e \(N_{10km}=8.6\times 10^{18}\), calcule \(n\) a 10km.

Regra de 3:

\[ (n_0-1) = c N_0\] \[ (n_{10km}-1) = c N_{10}\]

\[ (n_{10km}-1) = (n_0-1)*N_{10}/N_{1} = 0.000292 \frac{8.6}{25.5}\] \[(n_{10km}-1) = 0.3373(n_0-1) = 0.000985,\] \[n_{10km}= 1.000985.\]

Equação da Transferência Radiativa

Lei de Beer

Lei de Beer

Lei de Beer - coeficientes

\[ \beta_\lambda(s) = \beta_{a\lambda} + \beta_{e\lambda}, \]

\[ \beta_\lambda(s) = k_\lambda(s)\rho(s) = \sigma_\lambda(s) N(s),\]

Lei de Beer - Integral

\[ dL_\lambda(\Omega,s) = -L_\lambda(\Omega,s)\beta_\lambda(s)ds \rightarrow \frac{dL_\lambda(\Omega,s)}{L_\lambda(\Omega,s)} = -\beta_\lambda(s)ds,\] \[ \int_{L(s_1)}^{L(s_2)}\frac{dL_\lambda(\Omega,s)}{L_\lambda(\Omega,s)} = -\int_{s_1}^{s_2}\beta_\lambda(s)ds,\] \[ \ln L_\lambda(\Omega,s_2) - \ln L_\lambda(\Omega,s_1) = -\int_{s_1}^{s_2}\beta_\lambda(s)ds,\] \[ \ln\left(\frac{L_\lambda(\Omega,s_2)}{L_\lambda(\Omega,s_1)}\right) = -\int_{s_1}^{s_2}\beta_\lambda(s)ds \rightarrow L_\lambda(\Omega,s_2) = L_\lambda(\Omega,s_1) e^{-\int_{s_1}^{s_2}\beta_\lambda(s)ds}.\]

Definindo \(\tau = \int_{s_1}^{s_2}\beta_\lambda(s)ds\), temos a Lei de Beer: \(L=L_0e^{-\tau}\).

Exercício:

Equação da Transferência Radiativa

Equação da Transferência Radiativa

ETR com apenas emissão/absorção (sem espalhamento)

\[dL = -dL^{abs} + dL^{emis}.\]

ETR com apenas emissão/absorção - emis

ETR com apenas emissão/absorção (sem espalhamento)

\[ dL = \beta_{abs}(-L + B(T)) ds, \] ou \[ dL_\lambda(\Omega,s) = \beta_{abs}{}_\lambda(s)(-L_\lambda(\Omega,s) + B(\lambda,T(s))) ds, \] ou \[ \frac{dL_\lambda(\Omega,s)}{\beta_{abs}{}_\lambda(s) ds)} = -L_\lambda(\Omega,s) + B_\lambda(T(s)).\]

ETR com apenas ESPALHAMENTO (sem absorção/emissão)

\[ dL = -dL^{fora} + dL^{dentro},\]

Redução/adição de radiação por espalhamento

Espalhamento múltiplo

ETR com espalhamento

\[ J(\Omega)=\frac{1}{4\pi}\int_{4\pi}L(\Omega')p(\Omega',\Omega)d\Omega',\] Onde \(L(\Omega')\) é a radiância disponível vindo de outras direções, e \(p(\Omega',\Omega)\) é a função de fase.

Assim: \[ \frac{dL_\lambda(\Omega,s)}{\beta_{esp}{}_\lambda(s)ds} = -L_\lambda(\Omega,s)+J_\lambda(\Omega,s).\]

Equação da Transferência Radiativa - completa

\[ dL(\Omega) = (-L\beta_{abs} - L\beta_{esp} + B(T)\beta_{abs} + J(\Omega)\beta_{esp}) ds.\]

\[ \beta_{esp}(s) = \omega_0(s)\beta(s),\] \[ \beta_{abs}(s) = (1-\omega_0(s))\beta(s).\]

Equação da Transferência Radiativa - completa

\[ dL = -L\beta ds + B(T(s))(1-\omega_0(s))\beta(s) ds + J(\Omega,s)\omega_0(s)\beta(s) ds,\]

\[ \frac{dL_\lambda(\Omega,s)}{\beta_\lambda(s)ds} = -L_\lambda(\Omega,s) + (1-\omega_0(\lambda,s))B(\lambda,T(s)) + \omega_0(\lambda,s)J(\lambda,\Omega,s).\]

Aproximação de atmosfera plano-paralela ("Terra Plana")

Aproximação de atmosfera plano-paralela ("Terra Plana")

Aproximação de atmosfera plano-paralela ("Terra Plana")

Integral da ETR na atmosfera Plano-Paralela

\[ \frac{dL_\lambda(\Omega,s)}{\beta_\lambda(s)ds} = -L_\lambda(\Omega,s) + (1-\omega_0(\lambda,s))B(\lambda,T(s)) + \omega_0(\lambda,s)J(\lambda,\Omega,s).\]

  1. Vamos trocar o "abstrato" \(\Omega\) pelos "concretos" \(\zeta\) e \(\phi\).
  2. A profundidade óptica é dada por \(\frac{d\tau(z)}{dz}=-\beta(z)\).
  3. O efeito do ângulo de visada \(\zeta\) entra na definição de \(ds\), assim temos:

\[ \frac{\mu dL_\lambda(z,\mu,\phi)}{\beta_\lambda(z)dz} = -L_\lambda(z,\mu,\phi) + (1-\omega_0(z))B(T(z)) + \omega_0(z)J(z,\mu,\phi).\]

Integral da Equação da Transferência Radiativa

\[\frac{1}{\beta}\frac{dL}{ds}=-L+(1-\omega_0)B+\omega_0 J,\] lembrando que \(\beta=\beta_{abs}+\beta_{esp}\), \(\omega_0=\beta_{esp}/\beta\), \(B\) é função de Plank e \(J\) é função fonte de espalhamento.

Integral da ETR Térmica

Integral da ETR Térmica - Ascendente

\[\int d(uL) = \int_{z_0}^{z} \beta(z') u(z') B(z') dz' = \int_{z_0}^{z} \beta(z')B(z')e^{\int^{z'}\beta(z'')dz''}dz',\]

Integral da ETR Térmica - Ascendente

Integral da ETR Térmica - Ascendente

\[L(z) = \underbrace{L(z_0)}_{Emissão da superfície}\underbrace{e^{-\int_{z_0}^z\beta dz'}}_{Atenuação atmosférica Lei de Beer} + \int_{z_0}^{z} \underbrace{\beta(z')B(z')}_{Emissão na altitude z'}\underbrace{e^{-\int_{z'}^z\beta(z'')dz''}}_{Atenuação de $z'$ até $z$}dz'.\]

Integral da ETR Térmica - Ascendente

\[L(z) = L(z_0)e^{-\int_{z_0}^z\beta dz'} + \int_{z_0}^{z} \beta(z')B(z')e^{-\int_{z'}^z\beta(z'')dz''} dz'= \] \[L(z) = L_0e^{-\beta z} + \beta B(T) \int_{0}^{z} e^{-\beta (z-z')} dz'. \]

Assim: \[L(z) = L_0e^{-\beta z} + \beta B(T) \frac{1}{\beta}(1-e^{-\beta z}) = \] \[L(z) = L_0e^{-\beta z} + B(T) (1-e^{-\beta z}). \]

Integral da ETR Térmica - Ascendente

\[ ds=dz \rightarrow ds=\frac{dz}{\cos\zeta}=\sec\zeta dz, \] usando a secante nas expressões, ou seja:

\[L(z) = L(z_0)e^{-\int_{z_0}^z\beta \sec\zeta dz'} + \int_{z_0}^{z} \beta(z')B(z')e^{-\int_{z'}^z\beta(z'')\sec\zeta dz''}\sec\zeta dz.\]

\[L(z) = L_0e^{-\beta\sec\zeta z} + B(T)(1-e^{-\beta\sec\zeta z}).\]

Integral da ETR - Exemplo

A Integral da ETR apenas com termos térmicos fica na forma:

\[L(z) = L(z_0)e^{-\int_{z_0}^z\beta \sec\zeta dz'} + \int_{z_0}^{z} \beta(z')B(z')e^{-\int_{z'}^z\beta(z'')\sec\zeta dz''}\sec\zeta dz.\]

  1. Janela.

Integral da ETR - Exemplo

\[L(z) = L(z_0)e^{-\int_{z_0}^z\beta \sec\zeta dz'} + \int_{z_0}^{z} \beta(z')B(z')e^{-\int_{z'}^z\beta(z'')\sec\zeta dz''}\sec\zeta dz.\]

  1. Perfil de temperatura.

Integral da ETR - Exemplo

  1. Efeito da Camada

\[L(z) = L(z_0)e^{-\int_{z_0}^z\beta \sec\zeta dz'} + \int_{z_0}^{z} \beta(z')B(z')e^{-\int_{z'}^z\beta(z'')\sec\zeta dz''}\sec\zeta dz.\]

Integral da ETR - Exemplo - Temperatura de Brilho

Integral da ETR - Exemplo - Temperatura de Brilho (matlab)

  % Inputs:
  %    fr - vector of wavenumber (cm-1)
  %    rad - vector of radiances (mW/m2 per cm-1 per strad)
  %    bt  - vector of brightness temperature (Kelvin)

  fr = COLOQUE AQUI O VALOR DE fr (em cm¯¹)

  % Se voce for calcular RAD, defina BT: %%%%%%%%%%%%%5
  bt = COLOQUE AQUI O VALOR DA TEMPERATURA (rm K) 
  % Se voce for calcular BT, defina RAD: %%%%%%%%%%%%%5
  rad = COLOQUE AQUI O VALOR DE rad (em mW/m²/cm¯¹/sr)

  % Constants; values from NIST (CODATA98)
  c = 2.99792458e+08;  % speed of light      299 792 458 m s-1
  h = 6.62606876e-34;  % Planck constant     6.626 068 76 x 10-34 J s
  k = 1.3806503e-23;   % Boltzmann constant  1.380 6503 x 10-23 J K-1

  % Compute radiation constants c1 and c2
  c1 = 2*h*c*c * 1e+11;  % Changed 1e+8 to 1e+11 to convert Watts to milliWatts
  c2 = (h*c/k) * 100;

  % return bt = c2 * fr / log(1 + c1 * fr^3 / rad)

  % Se for calcular BT: %%%%%%%%%%%%%%
  bt = c2 * fr ./ log(1 + c1 * (fr.^3) ./ rad);
  % Se for calcular RAD: %%%%%%%%%%%%%%
  rad  = c1 * fr.^3 ./ (exp((c2 * fr) ./ bt) - 1);

Integral da ETR - Exemplo - Temperatura de Brilho (Python)

  # Inputs:
  #    fr - vector of wavenumber (cm-1)
  #    rad - vector of radiances (mW/m2 per cm-1 per strad)
  #    bt  - vector of brightness temperature (Kelvin)

  import math

  fr = COLOQUE AQUI O VALOR DE fr (em cm¯¹)

  # Se voce for calcular RAD, defina BT: %%%%%%%%%%%%%5
  bt = COLOQUE AQUI O VALOR DA TEMPERATURA (rm K) 
  # Se voce for calcular BT, defina RAD: %%%%%%%%%%%%%5
  rad = COLOQUE AQUI O VALOR DE rad (em mW/m²/cm¯¹/sr)

  # Constants; values from NIST (CODATA98)
  c = 2.99792458e+08;  # speed of light      299 792 458 m s-1
  h = 6.62606876e-34;  # Planck constant     6.626 068 76 x 10-34 J s
  k = 1.3806503e-23;   # Boltzmann constant  1.380 6503 x 10-23 J K-1

  # Compute radiation constants c1 and c2
  c1 = 2*h*c*c * 1e+11;  # Changed 1e+8 to 1e+11 to convert Watts to milliWatts
  c2 = (h*c/k) * 100;

  # return bt = c2 * fr / log(1 + c1 * fr^3 / rad)

  # Se for calcular BT: %%%%%%%%%%%%%%
  bt = c2 * fr ./ math.log(1 + c1 * (fr^3) ./ rad);
  # Se for calcular RAD: %%%%%%%%%%%%%%
  rad  = c1 * fr^3 / (math.exp((c2 * fr) / bt) - 1);

Integral da ETR - Exemplo - Temperatura de Brilho

\[L(z) = L(z_0)e^{-\int_{z_0}^z\beta \sec\zeta dz'} + \int_{z_0}^{z} \beta(z')B(z')e^{-\int_{z'}^z\beta(z'')\sec\zeta dz''}\sec\zeta dz.\]

Balanços Radiativos

Balanços Radiativos

Equilíbrio radiativo do Planeta - SEM ATMOSFERA

Equilíbrio radiativo do Planeta - SEM ATMOSFERA

Equilíbrio radiativo do Planeta - SEM ATMOSFERA

Planeta COM ATMOSFERA

Trocas de Energia

Balanco na Superfície: \[ (1-r_s)(1-a_c) E + a_l\sigma T_a^4 = \sigma T_s^4.\]

Trocas de Energia

Balanco na Atmosfera: \[ a_cE + a_cr_s(1-a_c)E + a_l\sigma T_s^4 = 2a_l \sigma T_a^4.\]

Trocas de Energia

Balanco no Topo da Atmosfera: \[ E = (1-a_c)^2r_sE + (1-a_l)\sigma T_s^4 + a_l\sigma T_a^4. \]

Trocas de Energia

\[ (1-r_s)(1-a_c) E + a_l\sigma T_a^4 = \sigma T_s^4.\] \[ a_cE + a_cr_s(1-a_c)E + a_l\sigma T_s^4 = 2a_l \sigma T_a^4.\] \[ E = (1-a_c)^2r_sE + (1-a_l)\sigma T_s^4 + a_l\sigma T_a^4. \]

As variáveis são \(T_a\) e \(T_s\) logo bastam duas equações (a 1a e a 2a). A 3a equação é automaticamente consistente, na verdade ela é a soma da 1a com a 2a!!

TENTE FAZER!

Resolução:

As equações são (reescrevendo o 1o termo da segunda equação):

\[ (1-r_s)(1-a_c)E + a_l\sigma T_a^4 = \textcolor{red}{\sigma T_s^4}, \]

\[ a_c(1+r_s(1-a_c))E + a_l\textcolor{red}{\sigma T_s^4} = 2 a_l\sigma T_a^4.\]

Substituindo a 1a na 2a equação, temos:

\[ \underbrace{a_c(1+r_s(1-a_c))E + a_l(1-r_s)(1-a_c)E}_{\text{mantem este como está}} + \underbrace{a_l^2\sigma T_a^4 = 2a_l \sigma T_a^4}_{=(2a_l-a^2)\sigma T_a^4 = a_l(2-a_l)\sigma T_a^4}, \]

assim:

\[ T_a^4 = \frac{\left\{ a_c\left(1+r_s(1-a_c)\right)+a_l(1-r_s)(1-a_c)\right\} E}{a_l(1-a_l)\sigma}.\]

Resolução:

E para \(T_s\):

\[ T_s^4 = \frac{1}{\sigma}\left( \textcolor{red}{(1-r_s)(1-a_c)}E + \frac{a_c(1+r_s(1-a_c))+a_l\textcolor{red}{(1-r_s)(1-a_c)}}{2-a_l}E\right) = \] \[ = \frac{\textcolor{green}{(2-a_l)}\textcolor{red}{(1-r_s)(1-a_c)} + a_l\textcolor{red}{(1-r_s)(1-a_c)} + a_c(1+r_s(1-a_c))}{\textcolor{green}{(2-a_l)}\sigma} E = \] \[ = \frac{2(1-r_s)(1-a_c)+a_c(1+r_s(1-a_c))}{(2-a_l)\sigma}E.\]

Casos Particulares

Este caso é problemático, pois a nossa solução envolve divisões por \(a_l\). SEMPRE que se faz isso, assume-se que \(a_l\) não é zero explicitamente! Ao fazer \(a_l=0\) obtemos \(T_a = 0/0\) o que é uma indeterminação.

Na verdade o sistema de equações montado não contempla esta solução pois a 2a equação ficaria da forma: \[ 0 = 0 \sigma T_a^4, \] ou seja, qualquer valor de \(T_a\) resolve o problema. Uma atmosfera totalmente transparente não troca energias com o meio, logo ela pode ter qualquer temperatura!

Já a temperatura da superfície torna-se: \[ T_s^4 = \frac{1}{\sigma}(1-r_s)(1-a_c)E,\] como obtido no caso anterior do planeta sem atmosfera.

Casos Particulares

As temperaturas tornam-se:

\[T_a^4 = \frac{a_c + a_l(1-a_c)}{a_l(2-a_l)}\frac{E}{\sigma}, \qquad T_s^4 = \frac{2-a_c}{2-a_l}\frac{E}{\sigma}.\]

As temperaturas apenas dependem de \(E\), do coeficiente de absorpção de ondas curtas e de ondas longas.

Casos Particulares

\[ T_a = 257K = -15C,\qquad T_s = 288K = 15C.\]

\[ T_a = 277K = 4C,\qquad T_s = 291K = 18C.\] Aqui o efeito estufa está caracterizado pelo aumento do espalhamento atmosférico e pela absorção total das ondas longas.

Exercícios:

  1. Calcule os valores para os dois casos do Planeta Terra e confirme os resultacos acima.
  2. Varie a reflectância em ±10% do valor aceito e recalcule os valores de \(T_a\) e \(T_s\) para o caso Terra com núvens.
  3. Estime a temperatura de equilíbrio de um planeta cuja atmosfera absorva toda a radiação de ondas curtas, mas não absorva nada da radiação de ondas longas. Aqui calcule \(T_s\) primeiro. Ao calcular \(T_a\) veja o que ocorre. Pense que se \(a_l=0\) temos que a atmosfera não emite energia térmica com o meio.
  4. Faça o mesmo para um planeta cuja atmosfera absorva toda a radiação de ondas longas, mas não absorva radiação de ondas curtas. (Este seria um caso parecido com um planeta denso e quente como Vênus). Calcule \(T_s\) e \(T_a\)

Taxa de aquecimento/resfrieament radiativo

Considere uma camada atmosférica com:

  1. Ela tem base na altura \(z_1\) e topo na altura \(z_2\).
  2. A radiação que entra por cima (no topo, \(z_2\)) é: \(E(z_2)^{\downarrow}\).
  3. A radiação que sai por cima (na base, \(z_1\)) é: \(E(z_1)^{\downarrow}\).
  4. A radiação que entra de baixo (na base \(z_1\)) é: \(E(z_1)^{\uparrow}\).
  5. A radiação que sai de baixo (no topo, \(z_2\)) é: \(E(z_2)^{\uparrow}\).

Taxa de aquecimento/resfrieament radiativo

A conservação de energia nessa camada atmosférica é dada por: \[\Delta E = E_\text{entra} - E_\text{sai} = E(z_2)^{\downarrow} + E(z_1)^{\uparrow} - E(z_1)^{\downarrow} - E(z_2)^{\uparrow} = \] \[ = (E(z_2)^{\downarrow} - E(z_1)^{\downarrow}) - (E(z_2)^{\uparrow} - E(z_1)^{\uparrow}) = \] \[ = \Delta E^{\downarrow} - \Delta E^{\uparrow}.\]

Taxa de aquecimento/resfrieament radiativo

O termo \(\Delta W\) é o trabalho realizado sobre o sistema. Trabalho é \(F.x\), logo tem que haver deslocamento. Se a atmosfera for considerada estático (não aumentar ou diminuir de volume) então \(\Delta W = 0\), logo: \[ \Delta E_\text{int} = \Delta Q.\]

\[ \Delta E_\text{int} = \Delta Q = m c_p \Delta T.\]

Taxa de aquecimento/resfrieament radiativo

A massa é dada por \(m = V\rho = A\Delta z \rho\), onde \(A\) é a área da camada. Dividindo tudo por \(A\), transformamos \(E\) de J para J/m²: \[\Delta E_\text{int} = \Delta z \rho c_p \Delta T.\]

Para termos a variação no tempo e irmos de energia para fluxo de energia, precisamos dividir por um intervalo de tempo \(\Delta t\): \[\Delta I_\text{int} = \Delta z \rho c_p \frac{\Delta T}{\Delta t},\]

Taxa de aquecimento/resfrieament radiativo

\[\Delta I_\text{int} = \Delta z \rho c_p \frac{\Delta T}{\Delta t},\] onde \(I\) é agora em W/m², e é a mudança do fluxo radiante entre o topo e a base da camada. Finalmente, dividindo tudo por \(\Delta z\), temos:

\[ \frac{dI}{dz} = \rho c_p \frac{dT}{dt}.\]

O termo \(\frac{dI}{dz}\) representa o Divergente da radiância: \[\vv{\nabla}\cdot \vv{I} = \rho c_p \frac{dT}{dt},\] e na verdade é igual a equação da propagação do calor.

Exercício

  1. Considere o planeta do problema 4 acima, completamente opaca para as ondas longas (\(a_l=1\)), e inteiramente transparente para as ondas curtas (\(a_c=0\)). Sua superfície é de um corpo-negro (\(a_s=\epsilon=1\)) e tem reflectância \(r_s\).
    1. Expresse os valores de \(T_a\) e \(T_s\) no equilíbrio.
    2. Agora, mude a reflectancia para \(r_s=1\), qual seria o impácto na temperatura de equilíbrio?

Balanço Radiativo na Superfície

Na superfície ocorrem trocas de energia tanto radiativas quanto não-radiativas.

  1. O saldo de energia radiativa: \(q* = E_c^{\downarrow} + E_l^{\downarrow} - E_c^\uparrow - E_l^\uparrow.\)
  2. A troca turbulenta de calor sensível (ar quente/frio): \(H\).
  3. A troca turbulenta de calor latente (umidade que transforma em vapor e vice-versa): \(L_e\).
  4. O calor tracado por condução entre a superfície e o subsolo: \(G\).

Há ainda outras formas de troca de energia, vento, corpos aquáticos, ..., mas esses são os básicos.

Balanço Radiativo na Superfície

A equação do balanço radiativo fica na forma:

\[ q* = H + L_e + G.\]

Balanço Radiativo na Superfície

As variáveis \(H\), \(L_e\) e \(G\) são derivadas das condições meteorológicas (temperatura, umidade, ventos, etc...) e de propriedades do solo (capacidade térmica da superfície, evapotranspiração, etc...).

Já o valor do saldo radiativo \(q*\) é normalmente medido empiricamente atraves de radiômetros:

Fazenda de cana - SP - Agosto - céu claro:

Fazenda de cana - SP - Agosto - céu nublado:

Simulado da Antártida:

Exercícios

  1. Qual a importância do albedo da superfície no balanço radiativo da superfície (saldo)? Para isso compare a Fig. da Antártida e da Fazenda de cana em dia nublado, e note que, a irradiância solar na Antártida é maior que na fazenda. Que componente do balanço é afetado?
  2. Como a cobertura de núvens modifica o balano de radiação em superfície? Elas são responsáveis por quais interações com a radiação solar? E com terrestre?